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RAIMI RAIMI ist männlich
Junior Member


Dabei seit: 09.01.2010
Beiträge: 18
Herkunft: Salzburg
Schulart und Klasse: HTL

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Den beiden Schenkeln eines rechten Winkels wird ein Kreis mit dem Radius r eingeschrieben. Zwischen dem Scheitel und der Kreislinie wird ein weiterer Kreis eingeschrieben, das Verfahren wird unendlich oft fortgesetzt gedacht. Berechne die Summe a) der ersten fünf Kreisumfänge und-flächeninhalte, b) alles Kreisumfänge und-flächeninhalte

Also wir haben in der Schule mit dem mal angefangen:

geg: r gs: x q= x/r


r*wurzel2/ r = (r+x) / (r-x)

-> x= r * (wurzel2 -1)²


erste Frage: was genau ist eigentlich q??
zweite Frage: wie gehts jetzt weiter?

vielen dank im vorraus
10.11.2010 12:56 RAIMI ist offline E-Mail an RAIMI senden Beiträge von RAIMI suchen Nehmen Sie RAIMI in Ihre Freundesliste auf
Lord Nobs Lord Nobs ist männlich
Moderator


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Dabei seit: 08.11.2004
Beiträge: 3.845
Herkunft: Hessen
Schulart und Klasse: lange her

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Hallohi

Hier gibt es eine Folge von Kreisen mit immer kleiner werdenden Radien

Der 1. Kreis hat den Radius
\fed\mixonr_1

Der 2. Kreis nach der Rechnung den Radius
\fed\mixonr_2=r_1*(root(2)-1)^2

Der 3. Radius berechnet sich aus dem 2. durch die Multiplikation mit dem selben Faktor. Das ist also der Quotient q zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern dieser geometrischen Reihe
\fedon\mixonr_2=r_1*q
r_3=r_2*q
r_4=r_3*q
r_5=r_4*q
...
mit
q=(root(2)-1)^2 
allgemein
\fedoffr_n=r_1*q^(n-1)

Nun zu den Kreisumfängen. Der erste Kreis hat den Umfang
\fed\mixonU_1=2*\pi*r_1

Der Umfang des 2. Kreises ist dann
\fed\mixonU_2=2*\pi*r_2=2*\pi*r_1*q=U_1*q
Das geht dann so weiter
\fedon\mixonU_3=U_2*q
U_4=U_3*q
...
\fedoffU_n=U_1*q^(n-1)

Jetzt kommt die Summe der ersten 5 Kreisumfänge.
Da nehmen wir die Summenformel der geometrischen Reihe her.
\fed\mixonS=a*(q^n-1)/(q-1)
S ist die Summe,
a das Anfangsglied,
n die Anzahl der Glieder, das erste mitgezählt
und q kennen wir schon.
Für die ersten 5 Umfänge ergibt das
\fed\mixonS_5U=U_1*(q^5-1)/(q-1)

Für alle unendlich vielen Umfänge muss man die entsprechende unendliche Summenformel nehmen. Die ist etwas einfacher.
\fed\mixonS=a/(1-q)
Der Rest geht wie oben beschrieben.

Bei den Kreisflächen steckt der Radius ja im Quadrat drin. Deswegen taucht da auch ein q² auf.
\fedon\mixonF_1=\pi*r_1^2
F_2=\pi*r_2^2=\pi*(r_1*q)^2=F_1*q^2
\fedoff
Am einfachsten man berechnet sich ein neues q für die Flächen, das gerade das Quadrat des alten q ist.

Viele Grüße
Lord Nobs

__________________
1Nm = 1Ws = 1J
12.11.2010 16:58 Lord Nobs ist offline E-Mail an Lord Nobs senden Beiträge von Lord Nobs suchen Nehmen Sie Lord Nobs in Ihre Freundesliste auf
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