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Folgen und Reihen

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RAIMI

Junior Member

Dabei seit: 09.01.2010
Beiträge: 18
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Schulart und Klasse: HTL

Folgen und Reihen

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Den beiden Schenkeln eines rechten Winkels wird ein Kreis mit dem Radius r eingeschrieben. Zwischen dem Scheitel und der Kreislinie wird ein weiterer Kreis eingeschrieben, das Verfahren wird unendlich oft fortgesetzt gedacht. Berechne die Summe a) der ersten fünf Kreisumfänge und-flächeninhalte, b) alles Kreisumfänge und-flächeninhalte

Also wir haben in der Schule mit dem mal angefangen:

geg: r gs: x q= x/r

r*wurzel2/ r = (r+x) / (r-x)

-> x= r * (wurzel2 -1)²

erste Frage: was genau ist eigentlich q??
zweite Frage: wie gehts jetzt weiter?

vielen dank im vorraus

10.11.2010 12:56

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Lord Nobs Lord Nobs ist männlich

Moderator

Dabei seit: 08.11.2004
Beiträge: 3.628
Herkunft: Hessen
Schulart und Klasse: lange her

RE: Folgen und Reihen

Hallo

Hier gibt es eine Folge von Kreisen mit immer kleiner werdenden Radien

Der 1. Kreis hat den Radius
$\fed\mixonr_1$

Der 2. Kreis nach der Rechnung den Radius
$\fed\mixonr_2=r_1*(root(2)-1)^2$

Der 3. Radius berechnet sich aus dem 2. durch die Multiplikation mit dem selben Faktor. Das ist also der Quotient q zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern dieser geometrischen Reihe
$\fedon\mixonr_2=r_1*q r_3=r_2*q r_4=r_3*q r_5=r_4*q ... mit q=(root(2)-1)^2 allgemein \fedoffr_n=r_1*q^(n-1)$

Nun zu den Kreisumfängen. Der erste Kreis hat den Umfang
$\fed\mixonU_1=2*\pi*r_1$

Der Umfang des 2. Kreises ist dann
$\fed\mixonU_2=2*\pi*r_2=2*\pi*r_1*q=U_1*q$
Das geht dann so weiter
$\fedon\mixonU_3=U_2*q U_4=U_3*q ... \fedoffU_n=U_1*q^(n-1)$

Jetzt kommt die Summe der ersten 5 Kreisumfänge.
Da nehmen wir die Summenformel der geometrischen Reihe her.
$\fed\mixonS=a*(q^n-1)/(q-1)$
S ist die Summe,
a das Anfangsglied,
n die Anzahl der Glieder, das erste mitgezählt
und q kennen wir schon.
Für die ersten 5 Umfänge ergibt das
$\fed\mixonS_5U=U_1*(q^5-1)/(q-1)$

Für alle unendlich vielen Umfänge muss man die entsprechende unendliche Summenformel nehmen. Die ist etwas einfacher.
$\fed\mixonS=a/(1-q)$
Der Rest geht wie oben beschrieben.

Bei den Kreisflächen steckt der Radius ja im Quadrat drin. Deswegen taucht da auch ein q² auf.
$\fedon\mixonF_1=\pi*r_1^2 F_2=\pi*r_2^2=\pi*(r_1*q)^2=F_1*q^2 \fedoff$
Am einfachsten man berechnet sich ein neues q für die Flächen, das gerade das Quadrat des alten q ist.

Viele Grüße
Lord Nobs

__________________
1Nm = 1Ws = 1J

12.11.2010 16:58

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