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Zum Ende der Seite springen Partialbruchzerlegung
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WB25 WB25 ist männlich
kico4u Maniac


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Partialbruchzerlegung Auf diesen Beitrag antworten Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       Zum Anfang der Seite springen


Hallo stecke wieder bei einer Aufgabe fest.

Integral 2x^3 - x^2 -10x +19 / x^2 + x - 6 dx

Hab Polynomdivision gemacht kommt 2x - (3x^2-2x -19) / (x^2 + x - 6)

Weiter weiß ich nicht was ich machen soll.

Wäre schön wenn mir emand bisschen helfen könnte.
20.03.2011 10:22 WB25 ist offline E-Mail an WB25 senden Beiträge von WB25 suchen Nehmen Sie WB25 in Ihre Freundesliste auf
Lord Nobs Lord Nobs ist männlich
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RE: Partialbruchzerlegung Auf diesen Beitrag antworten Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       Zum Anfang der Seite springen


Hallo hi

Immer diese Klammern. Ich gehe mal davon aus, dass du dieses hier meinst
\fed\mixonint((2x^3 - x^2 -10x +19) / (x^2 + x - 6),x)
und nicht das was dasteht
\fed\mixonint(2x^3 - x^2 -10x +19 / x^2 + x - 6,x)

Bei der Polynomdivision kannst du doch noch einen Schritt weiter rechnen.
\fed\mixon(2x^3 - x^2 -10x +19) / (x^2 + x - 6)=2x-3+(5x+1)/(x^2+x-6)
Jetzt hat das Zählerpolynom einen kleineren Grad als das Nennerpolynom.

Das weitere Vorgehen ist z.B. hier beschrieben.

Viele Grüße
Lord Nobs

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20.03.2011 13:35 Lord Nobs ist offline E-Mail an Lord Nobs senden Beiträge von Lord Nobs suchen Nehmen Sie Lord Nobs in Ihre Freundesliste auf
RAIMI RAIMI ist männlich
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Bräuchte auch Hilfe bei einer Aufgabe

integral [3;5] 3x² - 9x + 2 / (x-2)²*(x+2) dx =

Ich hab mal den Nenner aufgelöst :

(x² - 4x +4)*(x+2) = x³ - 2x² - 4x + 8


x³ - 2x² - 4x + 8 = 0

x1 = 2

So jetzt weiß ich nicht mehr weiter, bitte um Lösungsvorschlag
Danke schonmal
25.03.2011 19:24 RAIMI ist offline E-Mail an RAIMI senden Beiträge von RAIMI suchen Nehmen Sie RAIMI in Ihre Freundesliste auf
Lord Nobs Lord Nobs ist männlich
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Hallohi

Du hast im Nenner ausmultipliziert und eine Nullstelle bestimmt x1=2.
Das ist aber eigentlich keine große Neuigkeit, denn der Schreibweise als Produkt (x-2)²*(x+2) kann man schon ansehen, dass eine Nullstelle bei x=-2 vorliegt und einen doppelte Nullstelle bei x=+2.

Das weitere Vorgehen, bezüglich der doppelten Nullstelle, habe ich hier gefunden (siehe 2. Beispiel (doppelte Nullstelle)).

Es geht jetzt darum den ganzen Bruch in folgende Form zu bringen:
\fed\mixon(3x^2-9x+2)/((x-2)^2*(x+2))=a/(x-2)+b/(x-2)^2+c/(x+2)
Diese einzelnen Brüche sind leichter zu integrieren als die Ausgangsfunktion.

Der nächste Schritt ist die Bestimmung der Werte für a, b und c.
Erst mal ein wenig einfache Bruchrechnung.
\fedon\mixona/(x-2)+b/(x-2)^2+c/(x+2)=
\fedoff(a(x-2)(x+2)+b(x+2)+c(x-2)^2)/((x-2)^2*(x+2))
Hauptnenner gesucht, entsprechend erweitert und zusammengefasst.

Wenn man jetzt dieses Bruchungetüm mit unserer Ausgangsfunktion vergleicht, sind die Nenner gleich, dann müssen das auch die Zähler sein. Wir erhalten die Gleichung
\fed\mixona(x-2)(x+2)+b(x+2)+c(x-2)^2=3x^2-9x+2
Eine Gleichung für drei Unbekannte scheint ein bisschen wenig, reicht aber, denn die Gleichung muss für jede Potenz von x getrennt gelten.
Dazu muss man dann ausmultiplizieren, sortieren und zusammenfassen.
\fedon\mixona(x-2)(x+2)+b(x+2)+c(x-2)^2=3x^2-9x+2
a(x^2-4)+b(x+2)+c(x^2-4x+4)=3x^2-9x+2
ax^2-4a+bx+2b+cx^2-4cx+4x+4c=3x^2-9x+2
\fedoffx^2*(a+c)+x*(b-4c)-4a+2b+4c=3x^2-9x+2
Jetzt vergleichen wir die Werte die bei den jeweiligen Potenzen von x stehen und erhalten
\fedon\mixona+c=3
b-4c=-9
\fedoff-4a+2b+4c=2
Drei Gleichungen mit drei Unbekannten, wunderbar.
Meine Rechnung ergab im 2. Versuch
\fedon\mixona=1
b=-1
\fedoffc=2
Aus dem Integral
\fedon\mixonint((3x^2-9x+2)/((x-2)^2*(x+2)),x,3,5)
\fedoff
wurde auf diese Weise das folgende
\fedon\mixonint(1/(x-2)-1/(x-2)^2+2/(x+2),x,3,5)=
\fedoffint(1/(x-2),x,3,5)-int(1/(x-2)^2,x,3,5)+int(2/(x+2),x,3,5)
Das sieht doch schon viel freundlicher aus.

Viele Grüße
Lord Nobs

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26.03.2011 17:32 Lord Nobs ist offline E-Mail an Lord Nobs senden Beiträge von Lord Nobs suchen Nehmen Sie Lord Nobs in Ihre Freundesliste auf
RAIMI RAIMI ist männlich
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vielen Dank !
28.03.2011 21:31 RAIMI ist offline E-Mail an RAIMI senden Beiträge von RAIMI suchen Nehmen Sie RAIMI in Ihre Freundesliste auf
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