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Partialbruchzerlegung

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WB25

kico4u Maniac

Dabei seit: 22.02.2011
Beiträge: 107
Schulart und Klasse: 13

Partialbruchzerlegung

Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen

Hallo stecke wieder bei einer Aufgabe fest.

Integral 2x^3 - x^2 -10x +19 / x^2 + x - 6 dx

Hab Polynomdivision gemacht kommt 2x - (3x^2-2x -19) / (x^2 + x - 6)

Weiter weiß ich nicht was ich machen soll.

Wäre schön wenn mir emand bisschen helfen könnte.

20.03.2011 10:22

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Lord Nobs Lord Nobs ist männlich

Moderator

Dabei seit: 08.11.2004
Beiträge: 3.627
Herkunft: Hessen
Schulart und Klasse: lange her

RE: Partialbruchzerlegung

Hallo

Immer diese Klammern. Ich gehe mal davon aus, dass du dieses hier meinst
$\fed\mixonint((2x^3 - x^2 -10x +19) / (x^2 + x - 6),x)$
und nicht das was dasteht
$\fed\mixonint(2x^3 - x^2 -10x +19 / x^2 + x - 6,x)$

Bei der Polynomdivision kannst du doch noch einen Schritt weiter rechnen.
$\fed\mixon(2x^3 - x^2 -10x +19) / (x^2 + x - 6)=2x-3+(5x+1)/(x^2+x-6)$
Jetzt hat das Zählerpolynom einen kleineren Grad als das Nennerpolynom.

Das weitere Vorgehen ist z.B. hier beschrieben.

Viele Grüße
Lord Nobs

__________________
1Nm = 1Ws = 1J

20.03.2011 13:35

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RAIMI

Junior Member

Dabei seit: 09.01.2010
Beiträge: 18
Herkunft: Salzburg
Schulart und Klasse: HTL

Bräuchte auch Hilfe bei einer Aufgabe

integral [3;5] 3x² - 9x + 2 / (x-2)²*(x+2) dx =

Ich hab mal den Nenner aufgelöst :

(x² - 4x +4)*(x+2) = x³ - 2x² - 4x + 8

x³ - 2x² - 4x + 8 = 0

x1 = 2

So jetzt weiß ich nicht mehr weiter, bitte um Lösungsvorschlag
Danke schonmal

25.03.2011 19:24

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Lord Nobs Lord Nobs ist männlich

Moderator

Dabei seit: 08.11.2004
Beiträge: 3.627
Herkunft: Hessen
Schulart und Klasse: lange her

Hallo

Du hast im Nenner ausmultipliziert und eine Nullstelle bestimmt x1=2.
Das ist aber eigentlich keine große Neuigkeit, denn der Schreibweise als Produkt (x-2)²*(x+2) kann man schon ansehen, dass eine Nullstelle bei x=-2 vorliegt und einen doppelte Nullstelle bei x=+2.

Das weitere Vorgehen, bezüglich der doppelten Nullstelle, habe ich hier gefunden (siehe 2. Beispiel (doppelte Nullstelle)).

Es geht jetzt darum den ganzen Bruch in folgende Form zu bringen:
$\fed\mixon(3x^2-9x+2)/((x-2)^2*(x+2))=a/(x-2)+b/(x-2)^2+c/(x+2)$
Diese einzelnen Brüche sind leichter zu integrieren als die Ausgangsfunktion.

Der nächste Schritt ist die Bestimmung der Werte für a, b und c.
Erst mal ein wenig einfache Bruchrechnung.
$\fedon\mixona/(x-2)+b/(x-2)^2+c/(x+2)= \fedoff(a(x-2)(x+2)+b(x+2)+c(x-2)^2)/((x-2)^2*(x+2))$
Hauptnenner gesucht, entsprechend erweitert und zusammengefasst.

Wenn man jetzt dieses Bruchungetüm mit unserer Ausgangsfunktion vergleicht, sind die Nenner gleich, dann müssen das auch die Zähler sein. Wir erhalten die Gleichung
$\fed\mixona(x-2)(x+2)+b(x+2)+c(x-2)^2=3x^2-9x+2$
Eine Gleichung für drei Unbekannte scheint ein bisschen wenig, reicht aber, denn die Gleichung muss für jede Potenz von x getrennt gelten.
Dazu muss man dann ausmultiplizieren, sortieren und zusammenfassen.
$\fedon\mixona(x-2)(x+2)+b(x+2)+c(x-2)^2=3x^2-9x+2 a(x^2-4)+b(x+2)+c(x^2-4x+4)=3x^2-9x+2 ax^2-4a+bx+2b+cx^2-4cx+4x+4c=3x^2-9x+2 \fedoffx^2*(a+c)+x*(b-4c)-4a+2b+4c=3x^2-9x+2$
Jetzt vergleichen wir die Werte die bei den jeweiligen Potenzen von x stehen und erhalten
$\fedon\mixona+c=3 b-4c=-9 \fedoff-4a+2b+4c=2$
Drei Gleichungen mit drei Unbekannten, wunderbar.
Meine Rechnung ergab im 2. Versuch
$\fedon\mixona=1 b=-1 \fedoffc=2$
Aus dem Integral
$\fedon\mixonint((3x^2-9x+2)/((x-2)^2*(x+2)),x,3,5) \fedoff$
wurde auf diese Weise das folgende
$\fedon\mixonint(1/(x-2)-1/(x-2)^2+2/(x+2),x,3,5)= \fedoffint(1/(x-2),x,3,5)-int(1/(x-2)^2,x,3,5)+int(2/(x+2),x,3,5)$
Das sieht doch schon viel freundlicher aus.

Viele Grüße
Lord Nobs

__________________
1Nm = 1Ws = 1J

26.03.2011 17:32

RAIMI

Junior Member

Dabei seit: 09.01.2010
Beiträge: 18
Herkunft: Salzburg
Schulart und Klasse: HTL

vielen Dank !

28.03.2011 21:31

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